که ، ماتریس کانونی و ، زیرفضای سیگنال در فرکانس می باشد. ماتریس کانونی را می توان از روش های مختلف موجود از جمله و یا استخراج نمود. هنگامی که سیگنال نویز دارای توزیع گوسی باشد، ماتریس به صورت یک ماتریس وزن دهی متقارن تعریف می گردد که المان ام قطر اصلی ماتریس به شکل زیر خواهد بود:
(۳-۱۲۵)
در حقیقت، وجود ماتریس های وزن دهی در الگوریتم ، موجب می گردد که این الگوریتم نسبت به ، در مقابل نویز مقاوم تر باشد. با این وجود با توجه به این که این روش کماکان از ماتریس متمرکز کننده (ماتریس کانونی) استفاده می کند، عملکرد آن بسته به نوع روش محاسبه ، دارای مزایا و معایب متفاوتی می باشد. با فرض این که مقادیر ویژه ماتریس به شکل نزولی مرتب شده است ()، مقادیر برابر با امین مقدار ویژه مربوط به ماتریس (ماتریس کوواریانس در فرکانس ام( می باشد. با فرض ثابت بودن توان نویز در تمام بین های فرکانسی تعریف شده است. با توجه به ، مقدار بهینه ماتریس وزن دهی در حالتی که سیگنال و نویز دارای توزیع گوسی باشند،حاصل می گردد.
با تجزیه ماتریس ، به زیرفضای سیگنال و نویز، ماتریس را می توان به شکل زیر تعریف نمود:
(۳-۱۲۶)
با توجه به این که ماتریس ، یک ماتریس می باشد، با فرض داشتن منبع سیگنال مستقل، زیرفضای که معرف زیرفضای نویز بوده، یک ماتریس خواهد بود و با تجزیه ماتریس ، به شکل فوق می توان آن را به دست آورد و سپس با بهره گرفتن از الگوریتم ، زوایای ورود را تخمین زد. هم چنین می توان مشابه روش ، ماتریس کوواریانس ورودی ترکیبی به شکل زیر را از ماتریس ، استخراج نمود:
(۳-۱۲۷)
با توجه به فرمول فوق، ماتریس کوواریانس ورودی محاسبه شده از طریق ، در حقیقت برابر با مجموع ماتریس کوواریانس در هر بین فرکانسی است. شایان ذکر است که قبل از جمع شدن ماتریس کوواریانس، هر بین از یک فیلتر عبور داده شده و پس از عبور از فیلتر، مقادیر ویژه متناظر با زیرفضای نویز صفر گردیده و مقادیر ماتریس وزن دهی اعمالی موجب تبدیل مقادیر ویژه زیرفضای سیگنال می گردد. در حقیقت با بهره گرفتن از الگوریتم WAVES، زیرفضای نویز، صفر در نظر گرفته شده و با اعمال ، سهم زیرفضای سیگنال هایی که دارای مقادیر ویژه بیشتری نسبت به زیرفضای نویز هستند، در الگوریتم افزایش می یابد. به دلیل اعمال این تبدیل غیر خطی، در حقیقت روش ، پایداری بیشتری نسبت به روش در برابر نویز دارد.
فصل چهارم
الگوریتم TOPS
۴-۱- مقدمه
در این فصل، یک روش جدید محاسبه زوایای ورود، مربوط به سیگنال های پهن باند معرفی می گردد. این روش جدید، تحت عنوان “آزمایش تصویر زیرفضای عمود” ([۱۰۲])، شناخته شده است.
در حقیقت در این روش، معایب دو روش کلی تخمین به روش های همبسته و ناهمبسته برطرف گردیده و از ترکیب آن ها روشی به نام ، معرفی گردیده که مزایای هر دو گروه را تقریباً شامل می گردد.
۴-۲- مفاهیم پایه
همانند کلیه روش های مطرح شده برای تخمین زاویه ورودی سیگنال های پهن باند به وسیله آرایه ای از آنتن ها، تابع خروجی آرایه، تابعی از فرکانس سیگنال ارسالی، زاویه ورود، نویز و…، مطابق فرمول کلی زیر می باشد:
( اینجا فقط تکه ای از متن پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )
(۴- ۱)
تعاریف صورت پذیرفته در این پایان نامه، ابتدا در فضای یک بعدی مطرح می گردد، اما در این روش
می توان از آرایه ای دو بعدی نیز برای استخراج زوایا استفاده نمود. هم چنین نوع چینش آنتن ها نیز
می تواند غیرخطی باشد. بر خلاف روش های همبسته، در این روش احتیاجی به محاسبه مقدار اولیه برای زوایای کانونی نمی باشد که خود باعث ایجاد خطا در مراحل محاسبه تخمین در روش های همبسته
می گردد. علاوه بر این، بر خلاف روش های ناهمبسته، در روش ، اطلاعات مربوط به هر بین فرکانسی ابتدا با یکدیگر ترکیب شده و سپس زوایای ورود بر اساس اطلاعات ترکیبی به دست آمده محاسبه می گردد. همان گونه که طرح گردید، در روش ، مشابه روش و ، از ماتریس کانونی به منظور ترکیب داده های بین فرکانسی متفاوت استفاده می گردد. اما دو تفاوت اصلی با روش های قبلی دارد:
-
- در این روش فقط زیرفضای نویز در فرکانس های متفاوت محاسبه می گردد.
-
- ماتریس کانونی به خصوصیات فضایی آنتن ها(محل قرارگیری آنتن ها) وابسته بوده و در حقیقت تابعی از ماتریس جهت دهی آرایه آنتن می باشد. باید توجه نمود که، در روش های قبلی، ماتریس کانونی از زیرفضای سیگنال ها تشکیل می گردید.
در حقیقت در روش ، با توجه به عدم اطلاعات کافی از کل زیرفضای سیگنال، سعی بر این است که به جای کل زیرفضای سیگنال، تنها یک بردار جهت دهی از ماتریس آرایه درون زیرفضای سیگنال انتقال یابد. این عمل، موجب کاهش خطا در مرحله انتقال شده و تخمین دقیق تری نسبت به روش های قبلی ایجاد
می نماید.
۴-۳- ارائه یک مدل ریاضی
اگر المان ام بردار جهت دهی در فرکانس با فرض زاویه ورود مشخص ، در همان المان (المان ام بردار جهت دهی) اما با فرکانس متفاوت و زاویه ورود ضرب گردد، داریم:
(۴- ۲)
به طور کلی، می توان این حاصلضرب را با بهره گرفتن از سه معادله زیر معرفی نمود:
که در آن
اصل ۱: یک آرایه خطی از آنتن ها، با بردار جهت دهی ، مفروض می باشد، همواره ماتریسی به شکل وجود دارد، به گونه ای که :
(۴- ۳)
باید توجه نمود در صورتی که آرایه آنتن، یک بعدی و یا حداکثر دو بعدی باشد، همواره که معادل یک بردار جهت دهی است را می توان به گونه ای پیدا نمود که، معادله بالا را ارضا نماید. در حالت سه بعدی، ممکن است نتوان بردار که نماینده یک بردار جهت دهی واقعی باشد را، پیدا نمود. همان گونه که پیش تر نشان داده شد، روابط بین های فرکانسی و زوایای ورود آرایه به شکل زیر تعریف
می گردد:
(۴- ۴)
(۴- ۵)
در حقیقت، با توجه به اصل بیان شده، با ضرب بردار ، به ازای و مناسب، در بردار
جهت دهی آرایه، به ازای هر فرکانس و زاویه ورود، می توان آن را به یک بردار جهت دهی جدید در فرکانس و زاویه دلخواه، تبدیل نمود.
در حالت خاص، به ازای ، زاویه، می گردد. به عبارت دیگر، به ازای زاویه ورود ، و با در نظر گرفتن در همان زاویه ورود ()، می توان بردار جهت دهی آرایه در فرکانس دلخواه را به فرکانس انتقال داد بدون این که زاویه ورود () تغییر نماید. الگوریتم ، بر اساس ایده فوق الذکر،
پایه گذاری شده است.
اصل ۲: اگر تعریف گردد، خواهیم داشت:
که معرف برد ماتریس بوده و خواهیم داشت:
که ، زیر فضای سیگنال در فرکانس ام، و ، تابع انتقال مربوطه می باشد. در حقیقت برد انتقال یافته زیرفضای سیگنال، از فرکانس ام به فرکانس ام، برابر با برد ماتریس جهت دهی در فرکانس ام، و به ازای زاویه ورود ، می باشد.
اثبات:
با توجه به اصل ۱ و با توجه به یکسان بودن برد زیرفضای سیگنال و برد زیرفضای ماتریس، به سادگی داریم:
(۴- ۶)
