این روش ها به طور کلی بر مبنای مقادیر ویژه و بردارهای ویژه بنا شده اند. در این روش در واقع ماتریس کوواریانس مشاهده به دو زیر فضای عمود بر هم به نام های زیرفضای سیگنال و زیرفضای نویز تقسیم
می گردد. اگر منابع ارسال سیگنال نا همبسته باشند، ماتریس کوواریانس منابع، رتبه کامل دارد اما در بیشتر کاربردها منابع ارسال سیگنال همبسته می باشند که باعث کاهش رتبه ماتریس می گردد. فرض کنیم که ماتریس منابع دارای رتبه باشد، پس ماتریس به شکل زیر قابل تعریف خواهد بود:
(۲-۱۶)
به سادگی می توان نشان داد که هر برداری که جز فضای صفر[۳۵] ماتریس باشد یکی از بردارهای ویژه ماتریس بوده که با مقدار ویژه متناظر می باشد. همان طور که قبلاً گفته شد، می بایست مرتبه کامل داشته باشد تا جواب های به دست آمده برای یکتا باشد. بنابراین دارای رتبه بوده و کوچکترین مقدار ویژه ماتریس از مرتبه است.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))
فرض می کنیم مقادیر ویژه ماتریس کوواریانس بوده، که به صورت نزولی مرتب گردیده اند و بردارهای ویژه متناظر با آن می باشد. تجزیه ماتریس کوواریانس طیف خروجی به صورت ذیل حاصل می گردد:
(۲-۱۷)
(۲-۱۸)
(۲-۱۹)
(۲-۲۰)
(۲-۲۱)
در روابط بالا یک ماتریس قطری شامل بزرگترین مقادیر ویژه کوواریانس بوده که مقادیر ویژه متناظر با سیگنال ارسالی می باشد و از یکدیگر مستقل هستند. در حقیقت، زیرفضای سیگنال های ارسالی توسط بردارهای ویژه ی متناظر با این مقادیر ویژه، گسترش می یابند. بنابراین برد زیر فضای سیگنال و برد زیرفضای نویز بوده که هم چنین بر یکدیگر عمود می باشند (). خاصیت عمود بودن[۳۶] بیان
می دارد که برد فضای که از رتبه[۳۷] می باشد، زیرمجموعه ای از برد فضای است و اگر ماتریس کوواریانس منابع از مرتبه کامل باشد ، آن گاه این زیرفضاها با یکدیگر برابر خواهند بود.
از اولین روش های بکار برده شده مبتنی بر زیرفضا می توان به روش ، اشاره نمود. در این الگوریتم فرض بر است که سیگنال دلخواه در زیر فضایی کوچکتر از کل فضای در برگیرنده سیگنال ورودی قرار دارد. در ادامه به معرفی این روش پرداخته خواهد شد.
۲-۳-۴-معرفی روش [۳۸]
یکی از مشهورترین روش های تشخیص به وسیله تجزیه زیرفضاها، نام دارد که ایده اصلی آن برمبنای این است که فضای تولید شده توسط بردارهای ویژه ماتریس هدایت[۳۹] با فضای گسترده شده توسط بردارهای ویژه یکسان می باشد. به بیان دیگر با پیدا کردن اشتراک بین ماتریس هدایت و زیرفضای سیگنال می توان تخمینی از را به دست آورد. در عمل ماتریس نامعلوم بوده و فقط نمونه هایی از این ماتریس در دسترس می باشد که آن را با نمایش می دهیم و می توان آن را به وسیله میانگین گیری از نمونه برداری مستقل محاسبه نمود:
(۲-۲۲)
که می توان آن را به صورت زیر تجزیه نمود:
(۲-۲۳)
که و به ترتیب تخمین فضای سیگنال و تخمین فضای نویز می باشند. با توجه به توضیحات مذکور خواهیم داشت:
(۲-۲۴)
بر این اساس عبارت زیر برقرار خواهد بود:
(۲-۲۵)
با توجه به رابطه مذکور، فاصله اقلیدسی بردار از فضای به شکل زیر تعریف می گردد:
(۲-۲۶)
با پیدا کردن به ازای که رابطه بالا را مینیمم می نماید، می توان
های مورد نظر را تخمین زد و یا این که به منظور ساده تر نمودن روش به دست آوردن پاسخ، ماکزیمم تابع را محاسبه نمود. با توجه به توضیحات مذکور،طیف مکانی به شکل زیر تعریف
می گردد:
(۲-۲۷)
باید توجه نمود که در روش می بایست منابع سیگنال نسبت به یکدیگر ناهمبسته باشند. هم چنین جهت انجام محاسبات به تعداد قابل توجهی نمونه با قابل قبول نیاز است. به علاوه زاویه ورود منابع نباید به یکدیگر زیاد نزدیک باشد. در صورتی که سیگنال دریافتی کم بوده و یا زاویه منابع به یکدیگر نزدیک و منابع دارای همبستگی باشند، دیگر شرایط عمود بودن[۴۰] فراهم نبوده و خروجی الگوریتم دارای خطای بالایی خواهد بود.
۲-۳-۵- الگوریتم [۴۱]
همان گونه که قبلاً توضیح داده شد، یکی از مشهورترین روش های محاسبه ، استفاده از روش است. اصول کار این روش بر مبنای تجزیه زیرفضاها پایه گذاری شده است. ایده اصلی این الگوریتم محاسبه ماتریس وزن دهی در راستای زیرفضای بردارهای ویژه سیگنال ارسالی “” می باشد. در واقع ماتریس کوواریانس را می توان به صورت ترکیبی از زیرفضای سیگنال و زیرفضای نویز در نظر گرفت.
با در نظر گرفتن مدل ارائه شده در بخش ۲-۳ و با فرض نویز غیر همبسته گوسی با توان قطری (که در آن ماتریس واحد می باشد) معادله (۲-۱۶) به شکل زیر قابل برگردان خواهد بود:
(۲-۲۸)
که در آن، با فرض ناهمبستگی منابع، ماتریس غیرمنفرد[۴۲] با رتبهمیباشد .
فرض کنید که تعداد منابع ارسال سیگنال مشخص و برابر با بوده و تنها پارامتر مجهول، محاسبه زاویه ورود سیگنال به آرایه یعنی باشد. بر این اساس در روش ، ماتریس خودهمبستگی به صورت ترکیبی از مقادیر ویژه و بردارهای ویژه زیرفضایی آن تجزیه گشته و به شکل زیر نمایش داده می شود:
(۲-۲۹)
در رابطه فوق نشان دهنده بردارهای ویژه ماتریس و نشان دهنده مقادیر ویژه آن می باشد.
(۲-۳۰)
(۲-۳۱)
که در آن () و ماتریس قطری به صورت نزولی مرتب گردیده است.
با توجه به خصوصیات مقادیر ویژه و بردارهای ویژه، رابطه زیر مشهود می باشد():
() (۲-۳۲)
(۲-۳۳)
با توجه به رابطه (۲-۳۲)و (۲-۳۳) نتیجه زیر حاصل می گردد:
(۲-۳۴)
با توجه به کامل بودن رتبه ماتریس های و ، پاسخ معادله فوق به شکل زیر محاسبه می گردد:
() (۲-۳۵)
عبارت فوق نشان دهنده این مطلب خواهد بود که بردار ویژه متناظر با کمترین مقادیر ویژه ( بر زیر فضای سیگنال در جهت ورودی به آرایه عمود می باشد. این بردارهای ویژه، در حقیقت زیرفضای نویز را ایجاد می نمایند. هم چنین کلیه بردارهای پاسخ آرایه آنتن در جهت زاویه ورود بر این زیرفضا – زیرفضای نویز- عمود خواهد بود. در حقیقت منبع مستقل ارسال سیگنال یک زیرفضای بعدی را تشکیل می دهد که بر زیر فضای نویز همواره عمود است. هم چنین ترکیب زیرفضای نویز با زیرفضای سیگنال کل فضا را شامل می گردد. بنابراین روابط زیر برقرار می باشد:
(۲-۳۶)
که در فرمول بالا نشان دهنده زیرفضای سیگنال و نشان دهنده زیرفضای نویز می باشد.
