امروزه تخمین و فیلترینگ به عنوان ابزارهای فراگیری در مهندسی شناخته می شوند. هر کجا که بایستی تخمین صحیحی از حالات سیستم و با تکیه بر داده های نویزی سنسورها بدست آید، از تخمینگرها همراه با ایده همجوشی داده ها استفاده شده تا تخمین درستی از حالات سیستم بدست آید.
در مرحله تخمین، فیلتر انواع اطلاعات موجود را از حس گرها و اندازه گیرها جمع آوری کرده و با یک الگوریتم مشخص تلاش می نماید تا تخمین صحیحی را برای حالت یک سیستم مهیا سازد.

( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

در جایی که دینامیک مدل سیستم و مشاهده گر خطی باشند تخمین مقدار مینیمم خطا ^[۳] از روی فیلتر کالمن^[۴] کلاسیک که در ادامه به آن خواهیم پرداخت به سادگی قابل محاسبه خواهد بود. فیلتر کالمن یک الگوریتم بازگشتی است که برای تخمین حالات در سیستم های خطی از آن استفاده و از نقطه نظر کمینه سازی مربعات خطا بهینه می باشد.
مسائل فیلتراسیون غیر خطی برای یافتن جواب بهینه محتاج توصیف کاملی از دانسیته احتمال وزنی^[۵](PDF) می باشند که متاسفانه به راحتی قابل محاسبه نیست.
همان گونه که در ادامه بحث خواهد شد در مواردی که مدل اندازه گیر و فرایند غیر خطی است، استفاده از فیلتر های غیر خطی ارجح تر خواهد بود. استفاده از فیلتر کالمن تعمیم یافته^[۶]((EKF برای مدل سیستم هایی توصیه می شود که تا حد زیادی خطی بوده و می توان با توجه به درجه غیر خطی بودن سیستم آن را به فرم خطی تقریب زد.
رایج ترین کاربرد فیلتر کالمن، در سیستم های غیرخطی فیلتر کالمن تعمیم یافته می باشد. در فیلتر کالمن تعمیم یافته توابع غیر خطی موجود در مدل پروسه و اندازه گیری، توسط مشتقات جزئی خطی می شود که اینکار منجر به بدست آوردن ماتریس های ژاکوبین می گردد. همچنین انواع دیگری از فیلترها که برای سیستم هایی غیر خطی به کار می روند، از جمله فیلتر ذره ای و آنسنت که در ادامه توضیح بیشتری در مورد این گونه فیلترها بیان خواهد شد.
در این کار، تخمینی از میدان دمایی در یک خط لوله را از داده های محدود دمای موجود در سطح ارائه می­دهیم. مسائل تخمین حالت، که به عنوان مسائل معکوس غیرثابت نیز شناخته می شوند، در کاربردهای عملی بی شماری مورد توجه اند. در چنین مسائلی، داده های اندازه گیری در دسترس همراه با دانش قبلی پیرامون رویداد فیزیکی و ابزارهای اندازه گیری، به منظور تهیه تخمین هایی متوالی از متغیرهای دینامیک مناسب به کار رفته است. این در حالتی محقق می شود که خطا به طور آماری به حداقل برسد. به عنوان مثال، موقعیت یک هواپیما را می توان از انتگرال زمانی عناصر سرعت از زمان بلند شدن تخمین زد. اگرچه، این موقعیت را می توان از طریق سیستم GPS و یک ارتفاع سنج نیز اندازه گیری کرد. مسائل تخمین موقعیت با ترکیبی از پیش بینی مدل(انتگرال عناصر سرعت که شامل خطاهای ناشی از اندازه گیری سرعت می شود) و اندازه گیری های ارتفاع سنج و GPS که آنها نیز دارای ابهامند، سر و کار دارند تا تخمین های دقیق تری از متغیرهای سیستمی(موقعیت هواپیما) به دست آید.
مسائل تخمین حالت با فیلترهای معروف به فیلتر بیزی حل شده اند. در رویه بیزی آمار، تلاش برای استفاده از همه اطلاعات در دسترس به منظور کاهش میزان ابهام موجود در مساله تصمیم گیری یا استنتاجی است. با به دست آمدن اطلاعات جدید، آنها را با اطلاعات قبل ترکیب می کنیم تا مبنای رویه آماری را تشکیل دهد. سازوکار رسمی به کاررفته برای ترکیب اطلاعات جدید با اطلاعات در دسترس قدیمی را نظریه بیز گویند.
شناخته شده ترین روش فیلتر بیزی فیلتر کالمن است. مساله­ی تخمین حالت تحت فرضیات با بهره گرفتن از فیلتر کالمن حل می­ شود. اگرچه کاربرد فیلتر کالمن محدود به مدل های خطی با نویز گاوسی افزودنی است. بسط فیلتر کالمن در گذشته برای موارد کمتر محدود با بهره گرفتن از روش های خطی سازی انجام شده است. فیلتر کالمن به منظور تخمین حالت در سیستم­های دینامیکی است. به طور خاص، برای مدل­های زمان- گسسته استفاده می­ شود که این برای سیستم­های گاوسی خطی بهینه است. بسیاری از مسائل و مشکلات دنیای واقعی با موفقیت با بهره گرفتن از ایده­های فیلتر کالمن حل شده است، کاربردهای این فیلتر برای صنعت هوا فضا، فرایند شیمیایی، طراحی سیستم­های ارتباطات، کنترل، مهندسی عمران، فیلتر کردن نویز از تصاویر ۲بعدی، پیش ­بینی آلودگی و سیستم­های قدرت است. به طور مشابه، روش های مونت کارلو به منظور بازنمایی چگالی قبلی بر اساس نمونه های تصادفی و وزن متناظر آنها توسعه یافته است. چنین روش های مونت کارلویی معمولا به عنوان فیلترهای ذره ای، همراه با سایر طراحی های یافت شده در متون نمایش داده می شوند، و نیاز به فرضیه های محدودکننده فیلتر کالمن ندارند. بنابراین، فیلترهای ذره ای را می توان به مدل های غیرخطی با خطاهای غیرگاوسی اعمال کرد.
در این کار ما از فیلتر کالمن و فیلتر ذره ای برای مسائل هدایت حرارتی استفاده می کنیم. این فیلترهای بیزی برای پیش بینی دما در رسانایی به کار می روند که در آن مدل هدایت حرارتی و اندازه گیری دما دارای خطا هستند. پیش از تمرکز بر کاربردهای جالب هدایت گرمایی، مساله تخمین حالت تعریف شده و فیلتر های کالمن و ذره ای شرح داده شده اند.
مساله تخمین حالت
R.E. Kalman رویکردی جدید به مسائل فیلترینگ خطی و پیش ­بینی را ارائه داد.(مجله­ی مهندسی عمومی، ۸۲(۱):۳۵-۴۵, ۱۹۶۰).رودلف امیل کالمن، متولد بوداپست، مجارستان، ۱۹ می ۱۹۳۰ است. در نشریه­ی معروف خود در سال ۱۹۶۰ ” رویکرد جدید به مساله­ی فیلترینگ خطی و پیش ­بینی”، رودولف کالمن ساختار فیلتر تخمین حالت را بر نظریه­ احتمال بنا کرد. تخمین حالت جدید از تخمین قبلی با اضافه کردن ترم اصلاح متناسب با خطای پیش ­بینی (یا نوآوری از سیگنال اندازه ­گیری) استنباط می­ شود.
روش “انتقال حالت” از توصیف سیستم­های دینامیکی، و
فیلترینگ خطی با توجه به طرح متعامد در فضای هیلبرت^[۷] [۱۲].
به منظور تعریف مساله تخمین حالت، مدلی را برای سیر تغییر بردار x به شکل
(۱٫a)
در نظر بگیرید که در آن، زیرنویس k=1,2,…،یک t_kنمونه را در مساله دینامیک نشان می دهد. بردار را بردار حالت می نامند که شامل متغیرهایی است که پیگیری سیر تغییر آنها جالب توجه است. این بردار هماهنگ با مدل سیرتغییر حالت در معادله (۱٫a) پیشروی می کند، که در آن f تابعی غیرخطی از متغیرهای حالت و از بردار نویز حالت است.
همچنین در نظر بگیرید که اندازه گیری های در t_k، k=1,2,… در دسترسند. اندازه گیری ها از طریق تابع غیرخطی hبه متغیرهای حالتx به شکل زیر در ارتباطند:
(۱٫b)
که در آن نویز اندازه گیری است. معادله (۱٫b) را مدل مشاهده(اندازه گیری) گویند.
مساله تخمین حالت می خواهد اطلاعاتی پیرامون x_k بر مبنای مدل روند تغییر وضعیت (۱٫a) و اندازه گیری های در مدل مشاهده (۱٫b)به دست آورد.
مدل سیرتغییر-مشاهده داده شده در معادلات (۱٫a,b) بر اساس فرضیات زیر بنا شده است:
سری x_k برای k=1, 2, …یک روند مارکف است، یعنی
(۲٫a)
سری z_k برای k=1, 2, … نسبت به پیشینه x_k یک رویه مارکف است، یعنی
(۲٫b)
سری x_k تنها از طریق پیشینه خودش به مشاهدات قبلی وابسته است، یعنی
(۲٫c)
که در آن احتمال شرطی a را می دهد در شرایطی که b مشخص باشد.
به علاوه، برای مدل مشاهداتی-سیرتغییرات داده شده در معادلات (۱٫a,b) فرض بر این است که برای i≠j بردارهای نویز v_i و v_j و همچنین n_i و n_j متقابلا مستقل از یکدیگر و متقابلا مستقل از وضعیت ابتدایی x₀ هستند. بردارهای v_i و n_j همچنین برای همه i و j ها متقابلا مستقل اند.
با مساله سیرتغییر-مشاهده بالا می توان مسائل مختلفی را بررسی کرد، مثلا:
مساله پیش بینی، پیرامون تعیین
مساله فیلترینگ، پیرامون تعیین
مساله هموار سازی تاخیر ثابت، پیرامون تعیین که در آن p≥۱تاخیر ثابت است؛
مساله هموارسازی^[۸] کل دامنه، پیرامون تعیین که در آن سری کامل اندازه گیری ها است.
پیش ­بینی و هموارسازی
مدل به ما اجازه­ی پیش ­بینی یک گام جلوتر از اندازه ­گیری را می­دهد، در هر تکرار تخمین بهینه­ حالت آینده را حفظ می­کنیم.همچنین می­توانیم حالت را در یک نقطه قبل از اندازه ­گیری تخمین بزنیم که به عنوان هموارسازی شناخته می­ شود.
این کار تنها با مساله فیلترینگ سر و کار دارد. با فرض در دسترس بودن ، چگالی احتمال خلفی^[۹] با کمک فیلتر بیزی در دو مرحله به دست می آید: پیش بینی و به روز رسانی، طبق شکل ۱۲٫
شکل۱۲
مساله­ی تخمین حالت پایدار در تخمین خطی مطرح می­ شود و با سیستم­های غیر متغیر با زمان شرح داده شده توسط معادلات فضای حالت زیر همراه است:
که در آن x(k) بردار حالت n بعدی در زمان k است، z(k) بردار اندازه ­گیری m بعدی است، F ماتریس n×n انتقال سیستم است، H ماتریس خروجی n×m است، {w(k)} و {v(k)} فرایندهای تصادفی سفید با متوسط صفر گاوسی و ناهمبسته هستند، Q و R به ترتیب ماتریس­های ماشین و کوواریانس نویز اندازه ­گیری هستند، x(0) فرایند تصادفی گاوسی با متوسط و کوواریانس و x(0)، {w(k)} و {v(k)} مستقل هستند. مساله­ی فیلترینگ/ تخمین این است که تخمینی در زمان L از بردار حالت با بهره گرفتن از اندازه ­گیری­های تا زمان L تولید شود، یعنی هدف استفاده از مجموعه اندازه ­گیری­های {z(1),…,z(L)} به منظور محاسبه­ی مقدار تخمین x(L/L) از بردار حالت x(L) است.
فیلترهای کالمن و ذره ای به کار رفته در زیر مورد بحث قرار می گیرند.
فیلتر کالمن
در سال ۱۹۶۰، رودلف امیل کالمن^[۱۰] با بهره گرفتن از متدهای فضای حالت، روش حداقل مربعات خطا^[۱۱] (MMSE) را به عنوان یکی از روش های فیلترینگ تدوین نمود. از خصوصیات اصلی معادلات فیلتر کالمن و حل آنها میتوان به مدل کردن پروسه های تصادفی و نیز پردازش بازگشتی برای داده های اندازه گیری اضافه شده با نویز اشاره کرد. فیلتر کالمن عموما روشی برای حذف نویز تصادفی و داده های انحرافی می باشد. در این روش، از خصوصیات آماری مدل اندازه گیری برای تخمین بازگشتی داده مورد نیاز استفاده میشود. فیلتر کالمن به طور گسترده در فرایند پردازش داده در پروسه های دینامیکی به کار میرود و کارایی روش بازگشتی آن برای سیستم های چند سنسوری به اثبات رسیده است.
مهمترین مرحله در بکارگیری فیلتر کالمن، یافتن مدل فضای حالت فرایند تصادفی می باشد، که اینکار با بهره گرفتن از معادلات دینامیکی و سینماتیکی موجود برای فرایند تصادفی تحت بررسی امکان پذیر است. با توجه به اینکه فرایند را گسسته یا پیوسته در نظر بگیریم و همچنین چگونگی اندازه گیری خروجی، فیلتر کالمن به سه دسته تقسیم میشود، فیلتر کالمن زمان گسسته که معادله فرایند واندازه گیری ها هر دو گسسته می باشد، فیلتر کالمن زمان پیوسته که معادله فرایند و اندازه گیری ها هر دو پیوسته می باشد و فیلتر کالمن پیوسته –گسسته که درآن معادله فرایند، پیوسته در نظر گرفته می شود ولی اندازه گیری ها بصورت گسسته انجام می شود. در ادامه به توضیح درباره یافتن الگوریتم فیلتر کالمن زمان گسسته می پردازیم.
چگونه یک سیستم دینامیک (خطی یا غیرخطی) شرح داده میـشود؟ مفهوم بنیادی، مفهموم حالت است. با این معنا، به طور مستقیم، برخی از اطلاعات (مجموعه ­ای از اعداد، یک تابع و غیره) که حداقل مقداری از داده است را باید در مورد رفتار گذشته­ی سیستم دانست تا بتوان رفتار آینده­ی آن را پیش ­بینی کرد. یک سیستم دینامیکی خطی به طور کلی توسط معادله بردار دیفرانسیل تفسیر می­ شود
و
که در آن x یک n- بردار ، حالت سیستم است (اجزای از x متغیرهای حالت نامیده می­شوند)؛ u(t) یک m- بردار نشان­دهنده ورودی­های سیستم، F(t) و D(t) به ترتیب ماتریس­های n×n و n×m هستند. F نشان­دهنده دینامیک است، D محدودیت موثر بر حالت سیستم توسط ورودی، و M محدودیت در مشاهده حالت سیستم از خروجی است. برای سیستم­های تک ورودی/ تک خروجی، D و M به ترتیب شامل یک سطر و ستون است. اگر همه ضرایب F(t)، D(t) و M(t) ثابت باشند، می­گوییم سیستم دینامیکی غیر متغیر با زمان یا ثابت است. در نهایت، y(t) یک p- بردار است که بر خروجی سیستم دلالت دارد؛ M(t) یک ماتریس p×n است؛ .
نگاهی به بلوک دیاگرام شکل ۵ مفید است. این بلوک دیاگرام ماتریس است (همان­طور که نشان داده شده خطوط پهن نمایش­دهنده جریان سیگنال است). انتگرال­گیر در واقع برای n انتگرال توقف می­ کند به طوری که خروجی هر یک، یک متغیر حالت است؛ F(t) نشان­دهنده این است که خروجی انتگرال­گیرها چگونه به ورودی انتگرال­گیر تغذیه می­شوند. بنابراین ضریبی است که با آن خروجی انتگرال­گیر jام به ورودی انتگرال­گیر iام تغذیه می­ شود[۱۳].
شکل۱۳
امید، واریانس و کوواریانس