(۵-۸)
در این حالت می­توانیم وزن اهمیت را تا حد یک ثابت محاسبه کنیم:
(۵-۹)
و رابطه (۵-۷) به فرم زیر اصلاح می­ شود [۷۹]:
(۵-۱۰)
در این حالت می­توان وزن­های نرمالیزه شده را به صورت زیر تعریف نمود :
(۵-۱۱)
شکل(۵-۱): توصیف نمونه­برداری اهمیتی.
۵-۳- نمونه برداری اهمیتی با نمونه برداری مجدد^[۱۰۶]
روش IS از توزیع مورد نظر نمونه تولید نمی­کند بلکه نمونه­های وزن­دار تولید می­ کند. روبین^[۱۰۷]تکنیک نمونه­برداری اهمیتی با نمونه برداری مجدد (SIR) را ارائه کرد که در آن از بین نمونه­های تولید شده انتخاب مجددی صورت می­گیرد [۸۰]. این نمونه برداری مجدد بر طبق توزیعی که با توجه به وزن­های اهمیت بدست می ­آید انجام می­ شود. الگوریتم به صورت زیر بیان می­ شود:
۱- و را از توزیع تولید می­کنیم وقرار می­دهیم:
(۵-۱۲)
۲– و که است از مجموعه با احتمال انتخاب می­کنیم .( تعداد نمونه­های وزن­دار در روش SIR است) بدین ترتیب هر چه وزن یک نمونه بیشتر باشد احتمال انتخاب مجدد آن بیشتر است. اگر به نزدیک نباشد، آنگاه تعداد زیادی نمونه (N بزرگ) در مرحله اول باید تولید شود چون تعداد زیادی از نمونه­ها وزن کوچکی دارند.
۵-۴- محاسبه درستنمایی کناری^[۱۰۸]
در ساختار بیزی انتخاب اینکه داده ­های دریافتی طبق چه مدلی تولید شده اند بر مبنای احتمال پسین مدل صورت می­گیرد. اگر مدل مورد نظر راS بنامیم این اطلاعات در قرار دارد که بردار مشاهدات یا داده های دریافتی است. بعنوان مثال اگر انتخاب بین دو مدلS₀ و S₁ مورد نظر باشد می توان نسبت توزیع­های پسین^[۱۰۹]، PO ، را مورد بررسی قرار داد:
(۵-۱۳)
نسبت را اصطلاحا ضریب بیز^[۱۱۰]نیز می گویند که رابطه بسیار نزدیکی با روابط مربوط به تست آزمون فرضیه^[۱۱۱]دارد. در تست آزمون فرضیه دو فرض و در نظر گرفته می شود و نسبت درستنمایی با یک آستانه مقایسه می شود. در عمل هر کدام از فرض­ها یا مدل­ها احتمالا حاوی پارامترهای نامعلومی هستند که اگر آنرا بنامیم می توان نوشت:
(۵-۱۴)
که به این مقدار درستنمایی کناری داده ­های دریافتی تحت فرض i گفته می شود.
فرض کنیم داده ­های دریافتی از مدل تبعیت کنند. اگر برای سادگی از نوشتن در روابط صرفنظر کنیم می­توان نوشت:

( اینجا فقط تکه ای از متن فایل پایان نامه درج شده است. برای خرید متن کامل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت feko.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. )

(۵-۱۵)
فقط در بعضی موارد خاص که فرم تابع درستنمایی نمایی بوده و توزیع پیشین نیز هم خانواده^[۱۱۲]باشد می توان مقدار درستنمایی کناری را، که آنرا m می نامیم، بصورت تحلیلی محاسبه کرد. برای بقیه حالت­ها باید به دنبال روش­های مناسب عددی بود. بعضی روش­ها در [۸۱-۸۲] مرور شده اند. از جمله آن­ها می توان به روش لاپلاس [۸۳]، روش­های مبتنی بر MCMC^[113] [۸۴-۸۵]، روش­های مبتنی بر نمونه برداری اهمیتی و … اشاره کرد. در اینجا مروری بر روش­های مبتنی بر نمونه برداری اهمیتی که در الگوریتم­های پیشنهادی از آن استفاده شده است انجام می­دهیم.
۵-۵-تخمین تصادفی حالت
برای تخمین متغیر حالت از مجموعه ­ای از همه­ اندازه ­گیری­های (همان مشاهدات نویزی) در دسترس یعنی استفاده می­ شود. این موضوع با ترکیب توابع احتمال شرطی^[۱۱۴]، (به مفهوم احتمال رخ دادن به شرط مشاهده­ ) به عنوان احتمال پسین^[۱۱۵]انجام می­ شود. ابتدا یک مرحله پیش ­بینی بدون داشتن اطلاعاتی از اندازه ­گیری جاری (یا اندازه ­گیری در زمان اکنون) به­دست می ­آید و سپس از اطلاعات برای اصلاح مقادیر پیش ­بینی شده استفاده­می­ شود.
در محاسبه­ی بازگشتی فرض می­ شود که در زمان n-1 ، در دسترس است. با بهره گرفتن از معادله کولموگروف- چپمن^[۱۱۶][۸۶] مقدار پیش ­بینی به صورت زیر تخمین زده می­شوند:
(۵-۱۶)
در رابطه بالا فرض می­ شود که گذار حالت، یک فرایند مارکوف^[۱۱۷]از مرتبه یک است و در نتیجه رابطه برقرار است. برای انجام اصلاح باید از اطًلاعات در دسترس مشاهده زمان جاری استفاده­کنیم. با بهره گرفتن از قانون بیز^[۱۱۸]به صورت زیر داریم:
(۵-۱۷)
برای ثابت نرمالیزاسیون در رابطه بالا معادله زیر برقرار است:
(۵-۱۸)
هرچند برای محاسبه این انتگرال در سیستم­های خطی با نویز گوسی فرم بسته وجود دارد (مانند فیلتر کالمن) ولی در حالت عمومی برای یک سیستم غیر خطی فرم بسته­ای وجود ندارد. در چنین مواردی از روش­های فیلترینگ زیر بهینه یعنی EKF در بسیاری از کاربردهای فیلترینگ غیرخطی استفاده می­ شود.
به­دست­آوردن توزیع پسین کار مشکلی است ولی اگر به طریقی نمونه­های مستقلی از طبق توزیع پسین تولید شود، م
ی­توان از این نمونه­ها برای تقریب عددی روابط استفاده کرد. فرایند تولید نمونه به نحوی که نمونه­ها توزیع از پیش تعیین شده­ای داشته­باشند را اصطلاحاً نمونه­برداری از توزیع یا شبیه­سازی آن توزیع می­نامند.
۵-۶-شبیه­سازی مونت کارلو
در شبیه­سازی­های مونت کارلو، محاسبه انتگرال به جمع گسسته یک مجموعه از نمونه­های وزن­دار تبدیل می­ شود و چگالی پسین به صورت زیر تقریب زده­می­ شود:
(۵-۱۹)
N تعداد ذرات است و تابع دلتای دیراک و نمونه­ها یا همان ذرات تولیدشده با توزیع پسین است. هر متوسطی به صورت زیر را
(۵-۲۰)
می­توان به صورت زیر تقریب زد:
(۵-۲۱)
وقتی N به اندازه کافی بزرگ باشد قانون اعداد بزرگ تضمین می­ کند که .
در این­جا لازم است که از توزیع پسین نمونه­برداری کنیم. در بیشتر موارد ممکن است نتوان این کار را به صورت مستقیم انجام داد.
۵-۷-فیلتر ذره­ای
روش­های مونت کارلوی ترتیبی^[۱۱۹](SMC) مورد استفاده برای تحلیل سیستم­های غیرخطی، فیلتر ذره­ای نامیده­می­ شود. فیلتر ذره­ای یک روش پیاده­سازی ترتیبی فیلتر بیزی^[۱۲۰]با بهره گرفتن از شبیه­سازی­های مونت کارلو است. فیلتر ذره­ای امکان بیان توزیع پسین حالت­ها را به صورت عددی فراهم می ­آورد [۸۷-۸۸]. در نتیجه هر تخمین آماری مانند متوسط، مد و کووریانس را به صورت عددی تخمین می­زند. اساس این روش بیان توزیع پسین با مجموعه ­ای از نمونه­های تصادفی با وزن­های مربوط به آن است. هرچه تعداد نمونه­ها بیشتر باشدروش مونت کارلو بهتر می ­تواند به چگالی واقعی نزدیک باشد و آن را توصیف کند.
۵-۸-نمونه­برداری اهمیتی
ایده اساسی فیلتر ذره­ای استفاده از اصول نمونه­برداری اهمیتی است. به بیان دیگر نمونه­های ذرات از یک توزیع معلوم که به راحتّی قابل نمونه­برداری است انجام می­گیرد به این توزیع، توزیع اهمیت گفته می­ شود. با فرض این­که توزیع اهمیت باشدمتوسط یک تابع مانند به صورت زیر محاسبه می­ شود:
(۵-۲۲)
که در آن به صورت زیر است:
(۵-۲۳)
با تولید N نمونه از توزیع معادله شماره (۵-۲۲)را به صورت زیر می­توان تقریب زد:
(۵-۲۴)
در رابطه بالابا استفاده از نرمالیزه­سازی وزن­ها به صورت زیر از ثابت نرمالیزه­کننده و نامعلوم اجتناب می­ شود:
(۵-۲۵)
اگر باشد، توزیع اهمیت فقط به و بستگی دارد. در این­صورت برای انجام تخمین به صورت ترتیبی از توزیع پسین در زمان n ، فرمول بازگشتی زیر می ­تواند استفاده­شود:
(۵-۲۶)