در این مدل n واحد تصمیمگیرنده متجانس در دسترس است که واحد j ام، j=1,…,n ورودی (x1j, …, xmj) را برای تولید s خروجی (y1j, …, ysj) استفاده میکند. شکل کلی مدل CCR با ماهیت خروجی برای ارزیابی واحد تصمیمگیرنده p امنسبت به سایر واحدهای متجانس به صورت زیر است:
فرمول(۲-۶)
subject to:
که در مدل بالا εیک عدد ارشمیدسی بی نهایت کوچک است که به لحاط ملاحظات محاسباتی وارد مدل شده است و ها و ها به ترتیب متغیرهای کمبود و مازاد متناظر با قیود ورودی و خروجی میباشند. در واقع در مدل بالا با مقایسه واحد p ام با سایر واحدها درصدد یافتن ترکیبی از سایر واحدها هستیم که با ورودی حداکثر مساوی ورودی واحد p ام، خروجی بیشتری از واحد p ام را تولید نماید. (دشتی نژاد، ۱۳۹۱).
فرم کسری CCR
در این مدلبرای تعیین بالاترین نسبت کارایی و دخالت دادن میزان نهادهها و ستادههای سایر واحدهای تصمیمگیرنده در تعیین اوزان بهینه برای واحد تحت بررسی، مدل پایه زیر پیشنهاد شد(فارسیجانی و همکاران ، ۱۳۹۰):
فرمول(۲-۷)
مدل برنامهریزی کسری فوق به مدل کسری CCR معروف است که در آن: ، وزن ستاده r اُم؛ وزن نهادهi اُم؛ و ، اندیس واحد تصمیمگیرنده تحت بررسی است ( ). و نیز، به ترتیب، مقادیرستادهr اُم و نهاده i اُم برای واحد تحتبررسی (واحد o) هستند. همچنین و نیز، به ترتیب، مقادیرستادهr اُم و مقدار نهادهi اُم برای واحد j اُم هستند.S، تعداد ستادهها؛m، تعداد نهادهها؛ و nنیزبیانگر تعداد واحدهاست. توجه داشته باشید که تعریف کارایی درمدل کسری CCR عبارت است از”حاصل تقسیم ترکیب وزنیِ ستادههابرترکیب وزنیِ نهادهها“.
فرم مضربی CCR
فرمول(۲-۸ )
که در الگوی فوق Z0 واحد تصمیم گیرنده مورد بررسی می باشد و yrj متغیر خروجی r ام برای واحد تصمیم گیری j ام است و ur وزن اختصاص داده شده به این متغیر خروجی است. Xij متغیر ورودی i ام برای واحد تصمیم گیرنده j ام است و vi وزن اختصاص داده شده به این متغیر ورودی است(سینایی و گشتاسبی مهارلویی، ۱۳۹۱).
فرم پوششی CCR در ماهیت ورودی
در تحلیل پوششی داده ها دوگان فرم مضربی همواره شکل پوششی را نتیجه میدهد. در صورتی که دوگان فرم مضربی را بنویسیم، فرم پوششی به صورت زیر به دست می آید(دشتی نژاد، ۱۳۹۱):
فرمول(۲-۹)
در شکل پوششی متغیر متناظر با محدودیتهای مساوی در فرم مضربی آزاد در علامت است. مدل پوششی مجموعه ای از راه حل ها ارائه میدهد. این راه حل ها حدبالایی ایجاد میکند که تمام مشاهدات را می پوشاند و به عنوان تحلیلی پوششی داده ها عینیت می بخشد. شکل پوششی این امکان را میدهد که ترکیب محدب ایجاد شده برای واحدهای ناکارا و میزان دخیل بودن واحدهای کارا در این ترکیب با ضرایب jλ مشخص می شود. بنابرین مزیت اساسی شکل پوششی در نوع جوابی است که برای کارایی واحدهای مختلف به دست میدهد. جواب شکل پوششی در ماهیت ورودی به طور مستقیم میزان کارایی نسبی واحد تحت بررسی را نشان میدهد، در صورتی که θ*به دست آمده برای یک واحد مساوی یک باشد، بدین مفهوم است که واحد تحت بررسی کارا است و در صورتی که مقدار آن کوچکتر از یک باشد، واحد تحت بررسی ناکارا میباشد(دشتی نژاد، ۱۳۹۱).
روابط تعداد ورودی و خروجیها با تعداد واحدهای تحت بررسی
مسأله قابل توجه در الگوی CCR این است که اگر تعداد واحدهای مورد بررسی در مقایسه با تعداد ورودی ها و خروجیها اختلاف چندانی نداشته باشند، پس از حل مسأله خواهیم دید که بیشتر واحدها کارا خواهند شد. تعداد واحدهای مورد بررسی در سنجش با مجموع تعداد ورودی ها و خروجی ها باید از رابطه زیر پیروی کنند:
فرمول (۲-۱۰) (تعداد خروجی ها + تعداد ورودی ها) ۳ ≤ تعداد واحدهای مورد بررسی
یا
فرمول (۲-۱۱) (تعداد خروجی ها) * (تعداد وروی ها) ≤ تعداد واحدهای مورد بررسی
عدم به کارگیری رابطه مذکور در عمل موجب می شود که تعداد زیادی از واحدها بر روی مرز کارایی قرار گیرند؛ به عبارت دیگر دارای امتیاز کارایی گردند، در نتیجه قدرت تفکیک الگو به ترتیب کاهش مییابد(سینایی و گشتاسبی مهارلویی، ۱۳۹۱).
۲-۲-۱۰-۲-مدل BCC( بنکر، چارنز و کوپر)
در مدل CCR فرض بازده به مقیاس ثابت در نظر گرفته شده بود به این معنی که با قبول این فرض مثلاً اگر ورودی ها دوبرابر شوند، خروجیها نیز دو برابر میشوند. در حالی که خروجیها افزایشی بیش از دوبرابر یا کمتر از دو برابر داشته باشند به ترتیب بازده به مقیاس آنها افزایشی یا کاهشی است. در بسیاری از سازمانها فرض بازده به مقیاس ثابت برقرار نیست.فرض بازدهی ثابت به مقیاس، زمانی مناسب است که همه بنگاهها در سطح بهینه عمل نمایند، ولی مسائل متفاوتی نظیر اثرات رقابتی، محدودیتها، کارکردهای ضعیف مدیریتی و نظیر اینها باعث می شود که بنگاهها در مقیاس بهینه فعالیت نکنند(حمزه پور و محمدی، ۱۳۹۱). از اینرو بنکر، چارنز و کوپر در سال ۱۹۸۴ ، مدل قبلی CCR را بهگونه ای بسط دادند که بازدهی متغیر به مقیاس (VRS) را نیز در نظر بگیرد که به مدل BCC معروف شد(Banker and et al., 1984).
بنابرین مدلBCC که با افزودن شرط تحدب به مدل CCR حاصل می شود امکان درنظرگرفتن بازده به مقیاس متغیر را فراهم میآورد(علیرضایی و همکاران، ۱۳۸۴).
فرمول(۲-۱۲)
نکته قابل توجه اینکه در مدلCCR مقادیر به دست آمده برای کارایی در دو دیدگاه ورودی محور و خروجی محور، مساوی بوده؛ ولی در مدلBBC متفاوت اند (سینایی و گشتاسبی مهارلویی، ۱۳۹۱).
۲-۲-۱۰-۳-روش های ناپارامتری اولیه مدل سازی خروجی های نامطلوب
روش هایلو – ویمن
هایلو و ویمن (۲۰۰۱) برای زمانی که تکنولوژی شامل خروجی های نامطلوب باشد، روش زیر را معرفی کردند(Hailu, & Veeman,2001).
فرض کنید در یک فعالیت تولیدی، N ورودی در تولید M خروجی مطلوب و J خروجی نامطلوب به کار برده شود. بردار ورودی مصرف شده و ، به ترتیب نشان دهنده بردارهای خروجیهای مطلوب و خروجیهای نامطلوب باشند، همچنین ، و نیز به ترتیب نشان دهنده قیمت ورودی ها، قیمت خروجیهای مطلوب و قیمت خروجیهای نامطلوب باشند و مجموعه مشاهدات با S نشان داده شود.
مجموعه امکان تولید هایلو ویمن، ، با توجه به اصول زیر بنا نهاده می شود:
A1- برای هر داریم:
– A2زیرمجموعهی مشاهدات E را معنی دار می کند هرگاه:
فرمول(۲-۱۳)
A3- شرط امکان پذیری اصلاح شده:
فرمول(۲-۱۴)
A4-بسته و محدب است.
شرط اول همان شرط شمول مشاهدات است. شرط دوم، مفهومی است که بنکر و ماندیرتا از معنی داربودن ضعیف معرفی کردند و این شرط نیازمند آن است که مجموعه امکان تولید، زیر مجموعه e از مشاهدات گذرنده از آزمون WAPM را معنیدار کند. شرط سه نیز شرط امکان پذیری اصلاح شده هایلو و ویمن است.