۲ـ روش­ هرمیتی لنگزوس
۳ـ روش­ ناهرمیتی لنگزوس
هر یک از روش­های فوق را به صورت بلوکی نیز می­توان به­کار برد که در این صورت این روش­ها را روش­های بلوکی زیرفضای کرایلف می­نامند. روش­های آرنولدی و لنگزوس روش­های تصویری متعامد هستند، در حالی که روش ناهرمیتی لنگزوس روش تصویری متمایل است.
۲ـ۳ فرایند آرنولدی
فرایند آرنولدی، روش تصویری متعامد روی زیرفضای کرایلف است. این روش برای به دست آوردن مقادیر ویژه تقریبی ماتریس­های تنک و حل دستگاه­های خطی بزرگ به وجود آمده است که بر مبنای ساختن یک زیرفضا که زیرفضای کرایلف نامیده می­ شود، استوار است.
(( اینجا فقط تکه ای از متن درج شده است. برای خرید متن کامل فایل پایان نامه با فرمت ورد می توانید به سایت nefo.ir مراجعه نمایید و کلمه کلیدی مورد نظرتان را جستجو نمایید. ))

انتخاب بردار اولیه در این روش بسیار مهم است. لذا روش­های مختلفی برای انتخاب این بردارها وجود دارد.
۲-۳-۱ الگوریتم آرنولدی
۱ـ بردار اولیه با نرم یک و بعد از زیرفضای کرایلف را انتخاب کنید.
۲ـ به ازاء مقادیر ویژه زیر را محاسبه کنید:
معیار توقف الگوریتم زمانی است که بردار صفر شود، در این الگوریتم درایه­های ماتریس هسنبرگ و بردارهای ماتریس متعامد را به وجود می­آورند. در ادامه جزئیات مهمی از الگوریتم ارائه شده است.
مزایای روش آرنولدی
۱ـ در بسیاری از مسائل کاربردی هنگام برخورد با مسئله تعیین مقادیر ویژه یک ماتریس بزرگ، نیاز به تعیین تمام مقادیر ویژه آن نیست، بلکه معمولاً در این گونه مسائل محاسبه مقدار ویژه از تمام مقدار ویژه ماتریس بزرگ کفایت می­ کند.
۲ـ روش آرنولدی این امکان را فراهم می­سازد تا دقیقا به تعداد مورد نیاز مقادیر ویژه را محاسبه نمائیم.
در ادامه چند خاصیت مهم الگوریتم آرنولدی بررسی می­ شود.
قضیه۲ـ۲: بردارهای پایه­ای متعامد برای زیرفضای­کرایلف زیر تشکیل می­ دهند.
اثبات: بردارهای با توجه به ساختارشان متعامد هستند؛ از طرف دیگر با استقراء روی نشان می­دهیم که هر بردار به صورت می­باشد که در آن یک چندجمله­ای از درجه است. اگر باشد، با قراردادن داریم: ، فرض کنید مطلب فوق برای تمام اعداد صحیح کمتر یا مساوی برقرار باشد، در این صورت داریم:
که نشان می­دهد بردار به صورت بسط داده می­ شود.
قضیه ۲ـ۳ : فرض کنید ماتریس متعامد با ستون­های و یک ماتریس هسنبرگ باشد. که درایه­های غیرصفر آن توسط الگوریتم آرنولدی تولید شده است، در این صورت روابط زیر برقرار است:
اثبات: با توجه به روابط و در الگوریتم آرنولدی تساوی زیر به دست می ­آید.
و این تساوی، رابطه (۲-۳) را اثبات می­ کند. رابطه (۲-۴) از ضرب ماتریس در دو طرف رابطه (۲-۳) و با توجه به متعامد بودن بردارهای به دست می ­آید.
این وضعیت در شکل (۴ـ۱) نشان داده شده است. با توجه به شکل، اثر ماتریس روی ماتریس متعامد ، ماتریس به علاوه یک ماتریس با رتبه یک را می­دهد.
.
شکل (۴ـ۱) رفتار الگوریتم آرنولدی در فرایند متعامدسازی
نکته: فرض کنید­ها مقادیر ویژه ماتریس تولید شده توسط روند آرنولدی باشد، در این صورت تخمینی از بردارهای ریتز متناظر با مقادیر ویژه عبارتند از که در آن بردارویژه متناظر با از ماتریس هسنبرگ است. قضیه زیر ثابت می­ کند که بردارهای ریتز متناظر با مقادیر ویژه را می­توان به عنوان تقریبی از بردارهای ویژه ماتریس متناظر با مقادیر ویژه به­کار برد.
قضیه ۲ـ۴: فرض کنید بردار ویژه متناظر با مقدار ویژه از ماتریس هسنبرگ باشد و یک تخمین بردار ریتز یعنی باشد، در این صورت داریم:
از این رو
اثبات: با ضرب بردار در دو طرف رابطه داریم:
بنابراین
تذکر: هر چند الگوریتم آرنولدی می ­تواند تا مرتبه اجرا گردد، در این صورت ماتریس هسنبرگ تولید خواهد شد که تمام مقادیر ویژه ماتریس اولیه را دارا می­باشد؛ ولی باید توجه داشت که در این الگوریتم افزایش تعداد اعمال را بسیار زیاد می­ کند و لذا زمان اجرای محاسبات افزایش یافته و دقت تشابه و متعامدسازی نیز کاهش می­یابد.
۲-۳-۲ الگوریتم آرنولدی اصلاح­ شده گرام اشمیت
الگوریتم آرنولدی بر اساس روند متعامد­سازی گرام اشمیت پایه­ریزی شده است و همان­گونه که در فصل اول بیان شد الگوریتم گرام اشمیت اصلاح­شده از لحاظ ریاضی معادل الگوریتم گرام اشمیت استاندارد است؛ ولی از لحاظ عددی پایدارتر است. همین موضوع در مورد الگوریتم آرنولدی نیز برقرار است؛ بنابراین اساس الگوریتم آرنولدی روی آن پایه­ریزی می­ شود.
الگوریتم این روش به صورت زیر ارائه می­ شود.
الگوریتم آرنولدی اصلاح­ شده گرام اشمیت
۱ـ بردار اولیه با نرم یک و بعد از زیرفضای کرایلف را انتخاب کنید.
۲ـ به ازاء مقادیر زیر را محاسبه کنید:
در حساب دقیق ریاضی الگوریتم فوق با الگوریتم قبلی آرنولدی تفاوتی ندارد و تعداد اعمال هر دو یکسان است؛ اما شکل و طراحی الگوریتم باعث شده تا از نقطه نظر عددی خواص بهتری داشته باشد. در جدول (۲ـ۱) دیده می­ شود که این الگوریتم با الگوریتم آرنولدی استاندارد از لحاظ ریاضی کاملاً معادل است.

Arnoldi-MGS
Arnoldi-GS
Method
Flops