به طوری که :

E(Rp) : بازده مورد انتظار سبد سهام

bp : میانگین موزون bi سهام منفرد

E(Rm) : بازده مورد انتظار بازار

S(Rp) : انحراف معیار(ریسک) سبد سهام

S(Rm) : ریسک بازار

با پر گونه سازی سبد سهام، عبارت s²(e_i) یعنی ریسک غیر سیستماتیک تا حد زیادی محدود می شود. عبارت نخست یعنی ریسک سیستماتیک سبد سهام از طریق متنوع سازی قابل حذف نیست. ‌بنابرین‏ با کاهش باقیمانده ریسک از طریق متنوع سازی، ریسک سبد سهام به مقدار زیر نزدیک می شود:

S(R_p) = b_p(S(R_m))

بدین ترتیب مدل تک شاخصی شارپ حداقل به دو طریق قابل استفاده است :

۱- برای ساده سازی تخمین ورودیهای مدل مارکویتز.

۲- برای حل مستقیم مسئله تحلیل سبد سرمایه گذاری یعنی دستیابی به ریسک و بازده مورد انتظار سبد سهام.

۲-۳-۵- مدل قیمت گذاری دارایی های سرمایه ای ((CAPM

نظریه بازار سرمایه از جایی آغاز می شود که نظریه پرتفوی مارکوتیز پایان می‌یابد. نظریه بازار سرمایه، قیمت گذاری دارایی های سرمایه ای در بازار را توضیح می‌دهد. نظریه پرتفوی تجویزی است و توضیح می‌دهد که سرمایه گذار در گزینش یک سبد بهینه سهام چگونه باید عمل نماید. نظریه بازار سرمایه اثباتی است و توضیح می‌دهد که دارایی ها در بازاری از سرمایه گذارانی که مدل پرتفوی مارکوتیز را مورد استفاده قرار می‌دهند، چگونه قیمت گذاری می‌گردند.

نقطه آغاز نظریه بازار سرمایه این است که می توان با نرخ بازدهی بدون ریسک سرمایه گذاری کرد و بدین صورت مرز کارایی مارکویتز را تغییر داد. از فرضهای اساسی مدل قیمت گذاری دارایی سرمایه ای (CAPM) می توان به موارد زیر اشاره کرد:

1. 1. افق زمانی یک دوره ای همه سرمایه گذاران یکسان است.

1. 1. همه سرمایه گذاران می‌توانند با نرخ بازده بدون ریسک وام بدهند و وام بگیرند.

1. 1. هیچ گونه هزینه معاملاتی وجود ندارد.

1. 1. مالیات بر درآمد وجود ندارد.

1. 1. تورم وجود ندارد.

1. 1. هیچ سرمایه گذار منفردی نمی تواند از طریق تصمیمات خرید و فروش خویش بر قیمت سهم اثر بگذارد.

1. بازارهای سرمایه در حال تعادل هستند.

بسیاری از این مفروضات را می توان نادیده گرفت بدون آنکه تاثیر مهمی بر مدل قیمت گذاری دارایی های سرمایه ای یا الزامات آن داشته باشد. به عبارت دیگر، مدل مقاوم و محکم است. اگر چه نتایج ناشی از چشم پوشی از مفروضات ممکن است کمتر شفاف و دقیق باشد، لیکن آسیب مهمی در پی ندارد و بسیاری از نتیجه گیری‌های مدل پا برجاست. (علیزاده ۱۳۸۰)

مدل قیمت گذاری دارایی های سرمایه ای، نرخ بازده مورد انتظار هر سهم را با ریسک سیستماتیک آن سهم که توسط بتا اندازه گیری می شود، مربوط می‌کند. طبق این مدل، نرخ بازده مورد انتظار یک دارایی، تابعی از دو مؤلفه‌ نرخ بازده بدون ریسک وصرف ریسک است:

به طوری که:

K_i : نرخ بازده مورد انتظار دارایی i

E(R_m) : نرخ بازده مورد انتظارسبد بازار

B_i : ریسک سیستماتیک دارایی i

RF : نرخ بازده بدون ریسک

۲-۳-۶- ریسک سیستماتیک و CAPM

اهمیت ریسک سیستماتیک از موارد استفاده آن مشخص است. از جمله به استفاده از بتا در تصمیم گیری تشکیل پرتفوی، ارزیابی عملکرد پرتفوی، تصمیمات بودجه بندی سرمایه ای و تخمین نرخ بازده برای مقاصد ارزشیابی می توان اشاره کرد.

روش معمول اندازه گیری ریسک سیستماتیک شرکت، استفاده از مدل قیمت گذاری دارایی سرمایه ای است. همان‌ طور که اشاره شد، این مدل توسط شارپ (۱۹۶۴) و لینتنر(۱۹۶۵) و در ادامه مدل مارکویتز(۱۹۵۲) مطرح شد. مدل مارکویتز بیان می‌کند سهمی که بازده آن با سایر اوراق بهادار پرتفوی وابستگی کمی دارد، واریانس پرتفوی را کاهش می‌دهد. مدل قیمت گذاری دارایی های سرمایه ای بیان می‌کند که بازده مورد انتظار هرسهم به ریسک سیستماتیک آن سهم وابسته است.

شاخص بتا در معادله زیر نشانگر ریسک سیستماتیک است و برابر با کوواریانس بازده سهم و بازار تقسیم بر واریانس بازده بازار است:

بدین ترتیب، در شرایطی که بازار روند صعودی دارد، هرچه ریسک سیستماتیک بالاتر باشد، بازده مورد انتظار سهم نیز بیشتر است. این مفهوم همچنین این نظریه را که می‌گوید سرمایه گذاران برای ریسکی که به سادگی حذف می شود، پاداش نمی گیرند، تقویت می‌کند. ‌بنابرین‏، مدل قیمت گذاری دارایی های سرمایه ای، مدلی برای پیش‌بینی بازده سهام است که تنها یک عامل ریسک را شامل می شود و تنها متغیری که در آن از طریق محاسبه به دست می‌آید، ریسک سیستماتیک است.

کاربرد بتا و مدل قیمت گذاری دارایی های سرمایه ای در عمل قدری دشوارتر از آن چیزی است که مدل بیان می‌کند. زمانی مشکلات مشخص می شود که می‌خواهیم متغیرهای ورودی را تخمین بزنیم. منظور از متغیرهای ورودی، نرخ بازده بدون ریسک، نرخ بازده مورد انتظار پرتفوی بازار و بتا است. این متغیرها را می توان با بهره گرفتن از داده های تاریخی تخمین زد. هرچند مشکلاتی نظیر تعیین نرخ بازده بدون ریسک و اینکه کدام پرتفوی نماینده بازار است این فرایند را پیچیده می‌کند. بتایی که با بهره گرفتن از مدل بازار به دست می‌آید، برآوردی از بتای واقعی است. این برآورد می‌تواند اریب، غیر دقیق و از لحاظ محتوایی تحت تاثیر نمونه انتخاب شده باشد (بریلزفورد، فاف والیور،۱۹۹۷). لذا برخی محققین با توجه به شرایط حاکم بر بازار، اعمال تعدیلاتی نسبت به بتای برآورد شده را مطلوب می دانند.

طی دهه گذشته بحث‌های زیادی درباره اعتبار بتا و مدل مذکور مطرح شده است. نخستین تحقیقی که به وسیله آن مدل مورد سوال قرار گرفت، توسط فاما و فرنچ (۱۹۹۶و۱۹۹۳و۱۹۹۲) انجام شد. نتیجه به دست آمده آن بود که بتا به تنهایی نمی تواند رفتار بازده اوراق بهادار را تعیین کند. از طرف دیگر کتاری، شانگن واسلون (۱۹۹۵) گفتند که بتا را نباید فراموش کنیم و هرچند بتا ‌نقص‌هایی دارد ولی باز هم نسبتا خوب عمل می‌کند. این بحث اهمیت بسیار زیادی دارد. زیرا بتا و CAPM دو سنگ بنای تئوری مالی هستند و تحقیقات تجربی زیادی در حوزه مالی طی چند دهه اخیر راجع به آن ها انجام شده است.

فاما و فرنج در تکمیل مدل CAPM یک مدل سه عامله ارائه دادند ولی آن ها هم نتوانستند مدلی ارائه دهند که در آن بازده سهام کاملا توضیح داده شود. مدل آن ها به شرح زیر بود:

Rt – RFt = α + b (RMt – RFi) + sSMBt + hHMLt + et

که در آن :

R_t : بازده مورد انتظار سهم (پرتفوی) در زمان t

RFt : نرخ بازده بدون ریسک در زمان t

SMBt: بازده اضافی پرتفوی کوچک نسبت به پرتفوی بزرگ در زمان t

HML_t: بازده اضافی پرتفوهای با نسبت ارزش دفتری به ارزش بازار زیاد نسبت به پرتفوهایی که نسبت ارزش دفتری به ارزش بازار آن ها کم است ( بریمبل ۲۰۰۳).