اگر نقطه P نمایانگر یکی از بنگاه ها باشد، کارائی این بنگاه به صورت زیر تعریف می شود:

(۱-۲) OR/OP = کارائی فنی

یک تولید کننده به لحاظ فنی کاملا کارا است اگر تولید او بر روی مجموعه هم مقداری تولید (AA) انجام شود.این امر توانایی بنگاه را برای به دست آوردن حداکثر محصول از مجموعه عوامل تولید مشخص را منعکس می کند (مهرگان ، ۱۳۸۳).

اگر تولید بنگاه در سمت راست منحنی AA انجام پذیرد، این بنگاه با عدم کارائی مواجه خواهد بود. این عدم کارائی تمام موارد را که باعث می شود عملکرد واقعی بنگاه در سطحی کمتر از مقدار قابل حصول (با توجه به عوامل تولید مشخص) باشد را در بر می‌گیرد. براین اساس عدم کارائی مدیریت نیز یکی از اجزای عدم کارائی فارل می‌باشد. همچنین عدم کارائی با آنچه که بعضی از اقتصاددانان اتلاف منابع نامیده اند، مطابقت دارد. اتلاف منابع بدین معنا است که تولید مورد نظر می‌توانست با هزینه هایی کمتر از آنچه که صورت گرفته، حاصل شود(مهرگان ، ۱۳۸۳).

در یک بنگاه کاملا کارا OP=OR است ، بعبارتی کارائی فن مساوی یک خواهد بود. هر چه فاصله بین OR و OP افزایش یابد، کارائی فنی به سمت صفر میل می کند. ‌بنابرین‏ امکان بالقوه برای بهبود و افزایش کارائی هر بنگاه که با کارائی کمتر از یک مواجه باشد، وجود خواهد داشت(مهرگان ، ۱۳۸۳) .

همچنین فارل با در نظر گرفتن قیمت عوامل تولید، تعریف کارائی تخصیصی را ارائه نمود. در شکل (۱-۲) قیمت عوامل تولید به وسیله خط هزینه یکسان (BB’) نشان داده شده است، کارائی تخصیصی (کارائی قیمت) بنگاهی که در P تولید می‌کند، به صورت زیر تعریف می شود :

(۲-۲) OS / OR = کارائی تخصیصی

همچنین از حاصل ضرب کارائی فنی و کارائی تخصیصی می توان کارائی اقتصادی را بر حسب تعریف فارل به دست آورد:

(۳-۲) OS / OP × OS / OP = کارائی اقتصادی

OS / OP = OR / OP

کارائی تخصیصی× کارائی فنی = کارائی اقتصادی

امتیاز عمده روش اندازه گیری کارائی به روش فارل این است که مستقل از واحد اندازه گیری است، یعنی تغییر در واحد اندازه گیری، میزان اندازه کارائی را تغییر نمی دهد. در مطالعات و تحقیقات تجربی، کارائی فنی بیش از کارائی تخصیصی مورد ارزیابی قرار می‌گیرد زیرا در محاسبه کارائی فنی به اطلاعات قیمتی ‌در مورد عوامل تولید و محصول که عموما غیر قابل دسترس یا غیر قابل اتکاء است، نیاز نمی باشد (امامی میبدی،۱۳۷۹).

در تئوری های اقتصادی برای تعیین مرز کارایی (تابع تولید) دو روش مهم پارامتر یک و ناپارامتریک وجود دارد. در رویکرد پارامتر یک تعیین مرز کارایی روش های متفاوتی چون روش تحلیل تابع مرزی تصادفی(SFA)^[10]، روش مرزی ضخیم(TFA)^[11] و روش توزیع آزاد (DFA)^[12] وجود دارد. اصولاً در تمامی این روش های پارامتر یک سعی برآن است که با بهره گرفتن از فرضهای متفاوت، یک تابع تولید مرزی به شکل خاصی( نظیر کاب داگلاس، ترانسلوگ و…) با یک جمله خطای ترکیبی، تخمین زده شود و ‌به این وسیله میزان ناکارائی واحدها را به دو دسته عوامل تصادفی و عوامل ناکارائی نسبت دهد (, ۱۹۹۸ Bauer)

مهمترین ایراد روش پارامتریک، فرض های متفاوتی است که برای توابع و جزء ناکارائی در نظر می‌گیرد. لذا با در نظر گرفتن فرض های مختلف، تخمین های بسیار متفاوتی حاصل می‌گردد که امکان مقایسه عملی بین واحدها را با مشکل مواجه می‌سازد.در سطح ناپارامتریک، روش های متفاوتی برای مشاهده ناکارائی وجود دارد که از مهمترین و پرکاربردترین آن ها می توان به روش مرز پله ای^[۱۳] و روش برنامه ریزی خطی^[۱۴] اشاره نمود که هر دوجزء الگوهای برنامه ریزی ریاضی هستند(ودودی مفید ، ۱۳۸۵) .روش تحلیل مرزی تصادفی (SFA) و روش تحلیل فراگیر داده ها(DEA) ، دو روش متفاوت برای به دست آوردن منحنی هم مقداری تولید ویا توابع مرزی مورد نیاز در اندازه گیری کارائی می‌باشند. روش تحلیل فراگیر داده ها از برنامه ریزی خطی استفاده می‌کند در حالی که روش تحلیل مرزی تصادفی از مدل های اقتصاد سنجی استفاده می کند(امامی میبدی، ۱۳۷۹).

۲-۱۳ اندازگیری کارائی ازطریق تابع مرزی تصادفی

۲-۱۳-۱ مدل مرزی معین^[۱۵] و آماری ^[۱۶]

در سال ۱۹۶۸، ایگنر و چاو^[۱۷] تابع تولید مرزی پارامتریک را به شکل کاب-داگلاس با بهره گرفتن از آمار نمونه ایی N بنگاه تخمین زدند. مدل آن ها به صورت زیر تعریف شده بود:

در اینجا Y بردار محصول، X بردار نهاده، پارامتر ناشناخته است که باید تخمین زده شود و Ui متغییر تصادفی غیر منفی است که بیانگر عدم کارایی فنیِ تولید می‌باشد. اما این مدل (که بعدها به مدل مرزی معین معروف شد) دارای این محدودیت بود که امکان تاثیر گذاری خطا و سایر جزء اخلال ها را در تخمین مرز تصادفی در نظر نمی گیرد، لذا همه انحرافات از مرز را نتیجه عدم کارایی فنی می‌داند.

تیمر^[۱۸] در سال ۱۹۷۱ تلاش نمودمشکل مدل مرزی معین را رفع نماید، وی برای رفع این مشکل، در مدل خود درصدی از مشاهدات که به مرز تخمین شده بسیار نزدیک است را رها کرده و مرزرا دوباره با بهره گرفتن از داده های تقلیل یافته تخمین زد. در این روش به صورت اختیاری درصدی از مشاهدات انتخاب شده را حذف می نمائیم. این مدل بعدها به مدل مرزی آماری معروف شد. (امامی میبدی، ۱۳۷۹، ۴۹).

۲-۱۳-۲ تابع تولید مرزی تصادفی

ساختار اساسی مدل تابع تولید مرزی تصادفی به صورت زیر می‌باشد:

(۴-۲)

به طوری که: ~

~

به طوری که :

V: جزء اخلال (تصادفی)

U : اثرات عدم کارایی

Y: محصول بنگاه

X: بردار نهاده ها

: بردار ‌پارامترها

تفاضل دو عبارت(V-U) نامتقارن و غیرنرمال است که درجه غیرمتقارن بودن آن بستگی به مقدار دارد. در صورتی که باشد تابع به رگرسیون معمولی با توزیع نرمال جمله اخلال تبدیل می شود.انحراف نقاط مشاهده شده از تابع تولید مرزی به دو بخشV,U بستگی دارد که از نظر ماهیت با یکدیگر متفاوت هستند. V جمله اخلال و U عدم کارائی می‌باشند.(مهرگان ، ۱۳۸۳، ۴۷)

تابع اخیر شمای کلی توابع مرزی تصادفی بوده و این روش به تحلیل مرزی تصادفی (SFA) موسوم می‌باشد. منطق ، اقتصادی V,U این است که این دو جمله اخلال تصادفی، قابل تفکیک و دارای خواص متفاوت می‌باشند.تابع تولید فوق در سال ۱۹۷۷ توسط دو گروه اقتصاددان، همزمان و در دو قاره جهان به ادبیات اقتصادی اضافه گردید(MV, ALS).^[19]

V جمله اخلال معمولی و توضیح دهنده عواملی است که خارج از حوزه کنترل تولید کننده قرار دارد، از قبیل حوادث مساعد و نامساعد خارجی( نظیر خوش شانسی، آب و هوا ، عملکرد ماشین آلات) و همچنین اشتباهات اندازه گیری در آمارها و متغیرهای غیر مهم که از مدل کنار گذاشته شده است. متغیرهای غیر مهمی که از مدل حذف شده، همگی درv مستتر می‌باشند. این متغیر تصادفی (v) دارای توزیع نرمال بوده و مستقل از U می‌باشد:

(۵-۲) ~